Question

Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го
порядка.

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка, независящее явным образом от неизвестной переменной х. Данное уравнение имеет вид $y''=f(y,y')$.
Вводим новую функцию $p(y).$ Положим $y'=p(y)$, тогда $y''=pp'$
В результате имеем, что$ypp'-p^2-1=0$ - уравнение с разделяющимися переменными$displaystyle frac{dp}{dy} = frac{p^2+1}{py} ~~~Rightarrow~~~ frac{pdp}{p^2+1} = frac{dy}{y}$Проинтегрируем обе части последнее равенство , получим
$displaystyle frac{1}{2} int frac{d(p^2+1)}{p^2+1} =int frac{dy}{y} ~~~Rightarrow~~~ 0.5ln(p^2+1)=ln|y|+lnC\ \ sqrt{p^2+1} =C_1y~~~Rightarrow~~~ p^2=C_1y^2-1$
Тогда, выполнив обратную замену, получим
$y'= pmsqrt{C_1y^2-1}\ \ dfrac{dy}{ sqrt{C_1y^2-1} } =pm dx$

Интегрируя получим 

                   $dfrac{1}{ sqrt{C_1} } ln| sqrt{C_1y^2-C_1}+C_1y| =pm x+C_2$ - общий интеграл