Question

Исследуйте функцию y=2x^3 - 3x^2 на монотонность и экстремумы. Постройте график этой функции.

Answer 1

$y(x)=2x^3-3x^2$

$D(y):=(-infty;+infty)$

ищем критические точки:
$y'=(2x^3-3x^2)'=6x^2-6x=6x(x-1)=0\\ 6x^2-6x=0\\ x^2-x=0\\ x(x-1)=0\\ x=0 or x=1$

смотрим, как ведет себя производная функции при переходе через эти точки:
$+++++++[0]---------[1]+++++++ textgreater x$

производная в точке 0 меняет знак с + на - , что означает, что точка $0$ являеться максимумом функции $y(x)$,

производная в точке 1 меняет знак с - на + , что означает, что точка $1$ являеться минимумом функции $y(x)$

----------------
тогда промежутки монотонности:
ф-ия $y(x)$ монотонно растет на промежутке $(-infty;0)cup(1;+infty)$

ф-ия $y(x)$ монотонно убывает на промежутке $(0;1)$
----------------
ф-ия $y(x)$ пересекает ось ОХ в точкаx $(0; 0), (1.5; 0)$
$2x^3-3x^2=0\\ 2*x^2*(x-1.5)=0\\ x=0 or x=1.5$

ф-ия $y(x)$ пересекает ось ОУ в точке $(0; 0)$

на основании этих данных и строиться схематический   график