Question

$2(x^{2} + frac{1}{x^{2} } )-11(x- frac{1}{x})+8=0$

Answer 1

$2(x^2+ frac{1}{x^2})-11(x- frac{1}{x})+8=0$

если возвести в квадрат (x-1/x) то получаем:
$(x^2-2+ frac{1}{x} )$
чтобы выражение не изменялось мы прибавим 4

и так делаем замену:
$x- frac{1}{x}=a$

$2(x- frac{1}{x})^2-11(x- frac{1}{x} )+4+8=0 \ \ 2a^2-11a+12=0 \ D=121-96=5^2 \ a_1= frac{11-5}{4}= frac{3}{2} \ \ a_2= frac{11+5}{4}=4$
обратная замена:

$x- frac{1}{x}= frac{3}{2} (*2x neq 0) \ \ 2x^2-2=3x \ 2x^2-3x-2=0 \ D=9+16=5^2 \ x_1= frac{3-5}{4}= -frac{1}{2} \ \ x_2= frac{3+5}{4}=2 \ \ \ x- frac{1}{x}=4 (*x neq 0) \ \ x^2-1=4x \ x^2-4x-1=0 \ D=16+4=(2 sqrt{5})^2 \ x_1= frac{4-2 sqrt{5} }{2} =2- sqrt{5} \ x_2=2+ sqrt{5}$

ОТВЕТ:
$x_1=-0.5 \ x_2=2 \ x_3=2- sqrt{5} \ x_4=2+ sqrt{5}$