Question

пожалуйста!1)исследователь на сходимость с помощью признака Даламбера.
2)исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница.
3) найти радиус сходимости степенного ряда и опр. тип сходимости.

Answer 1

$1); ; sum limits _{n-1}^{infty } frac{8^{n}}{n^2+1}\\ limlimits _{n to infty}frac{8^{n+1}}{(n+1)^2+1}: frac{8^{n}}{n^2+1}= limlimits _{n to infty} frac{8^{n+1}cdot (n^2+1)}{(n^2+2n+2)cdot 8^{n}} =8 textgreater 1; ,\\ryad; rasxoditsya\\2); ; sum limits _{n=1}^{infty }(-1)^{n}frac{n}{n^2+3}\\a); ; limlimits _{n to infty}| a_n|= limlimits_{n to infty}frac{n}{n^2+3}=0\\b); ; |a_1| textgreater |a_2| textgreater ... textgreater |a_{n}| textgreater ...\\frac{1}{4} textless frac{2}{7} textgreater frac{3}{12} textgreater frac{5}{28} textgreater ...$

Члены ряда,начиная со 2-го, убывают по модулю.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Проверим сходимость ряда из модулей:   $|a_{n}|= frac{n}{n^2+3}$  .

Сравним этот ряд с расходящимся гармоническим рядом  $sum limits _{n=1}^{infty }frac{1}{n}$  .

$limlimits _{n to infty}frac{|a_{n}|}{b_{n}}=limlimits _{n to infty}frac{n}{n^2+3}:frac{1}{n}= limlimits _{n to infty} frac{n^2}{n^2+3}=1 textgreater 0; ; Rightarrow$

оба ряда расходятся
Значит, исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

$3); ; sum limits _{n=1}^{infty } frac{x^{n}}{ncdot 7^{n+1}}\\ limlimits _{n to infty}frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=limlimits _{n to infty}frac{|x|^{n+1}}{(n+1)cdot 7^{n+2}}cdot frac{ncdot 7^{n+1}}{|x|^{n}}=frac{|x|}{7} textless 1; ; to ; ; |x| textless 7\\-7 textless x textless 7; ; Rightarrow ; ; ; R=7\\x=7:; ; sum limits _{n=1}^{infty } frac{7^{n}}{ncdot 7^{n+1}}=sum limits _{n=1}^{infty }frac{1}{7n}; -; rasxoditsya\\x=-7:; ; sum limits _{n-1}^{infty }frac{(-7)^{n}}{ncdot 7^{n+1}}=sum limits _{n=1}^{infty }frac{(-1)^{n}}{7n}$

Это условно сходящийся ряд (по признаку Лейбница ряд сходится).
Область сходимости:  $xin [-7,7); .$