Question

Помогите пожалуйста
Нужно найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

Answer 1

уравнение вида:
$y'+P(x)y=Q(x)$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка (или частным случаем уравнения Бернулли)
Такие уравнения решаются либо методом вариации постоянной, либо методом Бернулли. Я покажу второй метод

Решение:
$y'+ frac{2x}{1+x^2} y= frac{2x^2}{1+x^2}$

Замена: y=uv;  y'=u'v+v'u, тогда

$u'v+v'u+ frac{2x}{1+x^2} uv= frac{2x^2}{1+x^2} \ \ u'v+u(v'+ frac{2x}{1+x^2}v)=frac{2x^2}{1+x^2} \ \ v'+ frac{2x}{1+x^2}v=0 \ \ frac{dv}{dx} + frac{2x}{1+x^2}v=0 \ \ frac{dv}{dx} =- frac{2x}{1+x^2}v \ \ frac{dv}{v} =- frac{2x}{1+x^2}dx$

$intlimits {frac{dv}{v}}=- intlimits {frac{2x}{1+x^2} } , dx \ \ ln|v|=- intlimits {frac{1}{1+x^2} } , d(1+x^2) \ \ ln|v|=-ln|1+x^2| \ \ ln|v|=ln | frac{1}{1+x^2} | \ \ v= frac{1}{1+x^2}$

$u'v+u(v'+ frac{2x}{1+x^2}v)=frac{2x^2}{1+x^2}$
Так как выражения в скобках приравнивалось к нулю, то остается:

$u'v=frac{2x^2}{1+x^2}$

подставляем значение v:

$u'frac{1}{1+x^2}=frac{2x^2}{1+x^2} |*(1+x^2) \ \ u'=2x^2 \ \ u= intlimits {2x^2} , dx = frac{2x^3}{3} +C$

И наконец, обратная замена:

$y=uv=(frac{2x^3}{3} +C)* frac{1}{1+x^2} \ \ OTBET: y=(frac{2x^3}{3} +C) frac{1}{1+x^2}$