Question

Заданы математическое ожидание a и среднее квадратич-
ное отклонение σ нормально распределенной случайной величины X . На-
писать плотность распределения вероятностей . Найти вероятность того, что X примет значение из интервала
(α,β)

Answer 1

Непрерывная случайная величина X, распределённая по нормальному закону, имеет функцию плотности:

$f(x)= frac{1}{sigma sqrt{2 pi } } e^{- frac{(x-a)^2}{2sigma ^2}}}$

В нашем случае: а=7, σ=3

$f(x)= frac{1}{3 sqrt{2 pi } } e^{- frac{(x-7)^2}{2*3 ^2}}= frac{1}{3 sqrt{2 pi } } e^{- frac{(x-7)^2}{18}}$

Вероятность попадания Х в интервал (α,β):

$P( alpha textless X textless beta )=Phi ( frac{ beta -a}{sigma} )-Phi ( frac{ alpha -a}{sigma} )$
Где Ф(x) - функция Лапласа  (табличное значение)

$frac{ beta -a}{sigma} =frac{ 10-7}{3} =1 \ \ frac{ alpha -a}{sigma} =frac{ 6-7}{3} =-0,33$

Функция Лапласа нечетная, значит: Ф(-x)=-Ф(х), поэтому

$P( 6 textless X textless 10 )=Phi ( 1 )-Phi (-0,33 ) =Phi ( 1 )+Phi (0,33 ) = \ \ =0.3413+0.129 3=0.4706$

$OTBET: f(x)= frac{1}{3 sqrt{2 pi } } e^{- frac{(x-7)^2}{18}} \ \ P( 6 textless X textless 10 )=0.4706$