Question

помогите пожл решить тема пределы и непрерывность

Answer 1

4)
$lim_{x to infty} (frac{7x+3}{7x-1})^{2x} = lim_{x to infty} (1+frac{4}{7x-1})^{2x}$
Так как
 $lim_{x to infty} (frac{4}{7x-1}) =0$
То
$lim_{x to infty} (1+frac{1}{frac{7x-1}{4}})^{frac{7x-1}{4}} = lim_{x to infty} (1+frac{4}{7x-1})^{frac{7x-1}{4}} = e$
Тогда:
$lim_{x to infty} (1+frac{1}{frac{7x-1}{4}})^{2x} = lim_{x to infty} ((1+frac{1}{frac{7x-1}{4}})^{frac{7x-1}{4}})^{frac{2x * 4}{7x-1}} = \ = lim_{x to infty} ((1+frac{1}{frac{7x-1}{4}})^{frac{7x-1}{4}})^{frac{frac{2x}{x} * 4}{frac{7x}{x}-frac{1}{x}}} = e^{frac{8}{7}}$

5)
$lim_{x to 0} frac{sin^3x}{3x^3} = lim_{x to 0} (frac{1}{3} * (frac{sin x}{x})^3)$
По первому замечательному пределу:
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
Тогда получаем:
$lim_{x to 0} (frac{1}{3} * (frac{sin x}{x})^3) = frac {1}{3} * 1 = frac {1}{3}$

6)
$lim_{x to frac{pi}{2} } frac{ctg x}{pi - 2x} = lim_{x to frac{pi}{2}}frac{cos x}{sin x(pi - 2x)}$
При подстановке значения x в выражение получаем неопределенность $frac{0}{0}$.
Сделаем замену:
$t = pi - 2x \ t to 0$
Тогда:
$x = frac{pi - t}{2}$
Выполним преобразования:
$lim_{t to 0} frac{cos(frac{pi - t}{2})}{sin(frac{pi-t}{2})t} = lim_{t to 0} frac{cosfrac{pi}{2}cosfrac{t}{2} + sinfrac{pi}{2}sinfrac{t}{2}}{t(sinfrac{pi}{2}sinfrac{t}{2} - cosfrac{pi}{2}sinfrac{t}{2})} = \ lim_{t to 0} frac{cosfrac{pi}{2}cosfrac{t}{2}}{t(sinfrac{pi}{2}sinfrac{t}{2} - cosfrac{pi}{2}sinfrac{t}{2})} + lim_{t to 0} frac{sibfrac{pi}{2}sinfrac{t}{2}*frac{1}{2}}{t(sinfrac{pi}{2}sinfrac{t}{2} - cosfrac{pi}{2}sinfrac{t}{2})*frac{1}{2}}$
$= 0 + frac{1 * frac{1}{2}}{(1 - 0)*1} = frac{1}{2}$