Question

Помогите пожалуйста решить задачу с параметром графическим способом

Answer 1

x^2 + |x^2 - 2x| = y^2 + |y^2 - 2y|
x^2 + |x(x-2)| = y^2 + |y(y-2)|
Нули модулей: х = 0, х = 2, у = 0, у = 2.

Построим график этой функции, для этого рассмотрим все 9 случаев (самое интересное происходит в случаях 6 и 8):

1) x >= 2, y >= 2:

Раскроем модули на этом участке, получим:
2x^2 - 2x = 2y^2 - 2y
x(x-1) = y(y-1)

График функции вида x^2 = y^2 - это крест, осталось только найти центр этого креста.

Центром будет точка, в которой одному значению х отвечает только одно значение у.

Т. е. x = -(x-1) => x = 0.5.
Тогда y(y-1) = -0.25 => y = 0.5.

2) x >= 2, 0 <= y < 2:
x^2 + x^2 - 2x = y^2 - y^2 + 2y
2x^2 - 2x = 2y
y = x^2 - x = x(x - 1)
При условии x >= 2, 0 <= y < 2 решений нет.

3) x >= 2, y < 0
x^2 + x^2 - 2x = y^2 + y^2 - 2y
Аналогично случаю 1.

4) 0 <= x < 2, y >= 2:
Решений нет.

5) 0 <= x < 2, 0 <= y < 2:
x^2 - x^2 + 2x = y^2 - y^2 + 2y
х = у
График функции - прямая.

!6) 0 <= x < 2, y < 0:

x^2 - x^2 + 2x = y^2 + y^2 - 2y
2x = 2y^2 - 2y
x = y*y - y = y(y - 1)

График этой функции (голубая линия) - парабола типа y = x(x-1), повернутая на 90 градусов по часовой стрелке вокруг оси в точке (0.5, 0.5).

7) x < 0, y >= 2:
2x^2 - 2x = 2y^2 - 2y
Аналогично случаю 1.

!8) x < 0, 0 <= y < 2:

x^2 + x^2 - 2x = y^2 - y^2 + 2y
y = x(x-1)

График этой функции - парабола (розовая линия).

9) x < 0, y < 0:
2x^2 - 2x = 2y^2 - 2y
Аналогично случаю 1.

Используя эту информацию, строим график.
Видим, что 3 и более пересечения с прямой y = -x + a, график которой - прямая, проходящая из II четверти в IV (зеленые линии), будет в случае, если a E (0; -1].

Ответ: a E (0; -1].

Answer 2

Если я правильно понимаю, при a=1 получается единственный y=1+sqrt2, соответственно и один x, то есть решение одно, что нам не подходит. В ответах точно (0;1]?

Answer 3

Да, (0; 1]. Мы просто минус потеряли. При а = 1 у = -х + 1. Например, при х = 2 у = -2 + 1 = -1. Это соответствует правой зеленой линии.

Answer 4

Adigro, если бы ты вникал в суть решения, а не только проверял ответы, ты бы сразу это заметил.

Answer 5

igorShap, при а = 1 мы имеем бесконечное количество решений, потому что график прямой у = 1 - х накладывается на черный крест, и мы имеем бесконечное количество решений.

Answer 6

Прошу прощения, неправильно модули раскрыл, в итоге получил ошибку. ПРизнаю свое поражение.