Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции frac{x^{2}+7x}{x-9}
на промежутке [-4; 1]

Answer 1

Найдем стационарные точки:

$f(x)=frac{x^{2}+7x}{x-9}\\ f'(x)=[frac{x^{2}+7x}{x-9} ]'=frac{[x^2+7x]'*[x-9]-[x^2+7x]*[x-9]'}{(x-9)^2}=\\ =frac{[2x+7]*[x-9]-[x^2+7x]*[1]}{(x-9)^2}=frac{2x^2-18x+7x-63-x^2-7x}{(x-9)^2}=\\ =frac{x^2-18x-63}{(x-9)^2}.\\ f'(x)=0\\ frac{x^2-18x-63}{(x-9)^2}=0\\ frac{x^2-21x+3x-63}{(x-9)^2}=0\\ frac{x(x-21)+3(x-21)}{(x-9)^2}=0\\ frac{(x+3)(x-21)}{(x-9)^2}=0\\ x_1=-3 x_2=21$

$f'(x)=frac{(x+3)(x-21)}{(x-9)^2}\\ +++++[-3]------(9)-----[21]++++ textgreater x$

Получили, что при значении $x=-3$ функция $f(x)$ достигает своего  максимума:
$f(-3)=frac{(-3)^{2}+7*(-3)}{-3-9} =frac{9-21}{-12}=1$

также, при значении $x=21$ функция $f(x)$ достигает своего  максимума:
$f(21)=frac{21^{2}+7*21}{21-9}=frac{588}{12}=49$

на концах интервала значения функции:
$f(-4)=frac{(-4)^{2}+7*(-4)}{-4-9} =frac{16-28}{-13}=frac{12}{13}\\ f(1)=frac{1^{2}+7*1}{1-9} =frac{8}{-8}=-1$

--------------------------
В итоге, наибольшее значение функции на промежутке $[-4; 1]$ равно $f(-3)=1$, и наименьшее: $f(1)=-1$
---------------------------
Ответ: на промежутке $xin[-4; 1]$     $-1 leq f(x) leq 1$