Ответы
Ответ дал:
0
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Вводим новую функцию
, тогда
, ![y'=2zz' y'=2zz'](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D2zz%27)
![displaystyle y'-frac{2xy}{1+x^2}=frac{4sqrt y}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x\
2zz'-frac{2xz^2}{1+x^2}=frac{4z}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x\
z'-frac{xz}{1+x^2}=frac{2}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x displaystyle y'-frac{2xy}{1+x^2}=frac{4sqrt y}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x\
2zz'-frac{2xz^2}{1+x^2}=frac{4z}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x\
z'-frac{xz}{1+x^2}=frac{2}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+y%27-frac%7B2xy%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%3Dfrac%7B4sqrt+y%7D%7Bsqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%7Dmathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dx%5C%0A2zz%27-frac%7B2xz%5E2%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%3Dfrac%7B4z%7D%7Bsqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%7Dmathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dx%5C%0Az%27-frac%7Bxz%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%3Dfrac%7B2%7D%7Bsqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%7Dmathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dx)
Замечу, что мы потеряли решение z = 0 (но это не страшно, к этой задаче Коши это не имеет отношения). Получилось линейное уравнение, решаем его методом вариации постоянной.
Решаем однородное уравнение:
![displaystyle z'-frac{xz}{1+x^2}=0\
frac{z'}z=frac{x}{1+x^2}\
left(ln zright)'=(ln Csqrt{1+x^2})'\
z=Csqrt{1+x^2} displaystyle z'-frac{xz}{1+x^2}=0\
frac{z'}z=frac{x}{1+x^2}\
left(ln zright)'=(ln Csqrt{1+x^2})'\
z=Csqrt{1+x^2}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+z%27-frac%7Bxz%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%3D0%5C%0Afrac%7Bz%27%7Dz%3Dfrac%7Bx%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%5C%0Aleft%28ln+zright%29%27%3D%28ln+Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%29%27%5C%0Az%3DCsqrt%7B1%2Bx%5E2%7D)
Полагаем C = C(x) и подставляем найденное решение однородного уравнения в неоднородное:
![displaystyle C'sqrt{1+x^2}=frac{2}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x\
C'=frac{2mathop{mathrm{arctg}}x}{1+x^2}\C=A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x\
z(x)=sqrt{1+x^2}(A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x)\
boxed{y(x)=(1+x^2)(A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x)^2} displaystyle C'sqrt{1+x^2}=frac{2}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x\
C'=frac{2mathop{mathrm{arctg}}x}{1+x^2}\C=A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x\
z(x)=sqrt{1+x^2}(A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x)\
boxed{y(x)=(1+x^2)(A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+C%27sqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%3Dfrac%7B2%7D%7Bsqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%7Dmathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dx%5C%0AC%27%3Dfrac%7B2mathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dx%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%5CC%3DA%2Bleft.mathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dright.%5E2x%5C%0Az%28x%29%3Dsqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%28A%2Bleft.mathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dright.%5E2x%29%5C%0Aboxed%7By%28x%29%3D%281%2Bx%5E2%29%28A%2Bleft.mathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dright.%5E2x%29%5E2%7D)
Определяем значение постоянной интегрирования A, для этого вычисляем значение функции в точке x = 1:
![displaystyle y(1)=(1+1^2)(A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^21)^2=2left(A+frac{pi^2}{16}right)^2=frac{pi^4}{128}\
A+frac{pi^2}{16}=pmfrac{pi^2}{16}\
Ainleftlbrace0,-frac{pi^2}{8}rightrbrace displaystyle y(1)=(1+1^2)(A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^21)^2=2left(A+frac{pi^2}{16}right)^2=frac{pi^4}{128}\
A+frac{pi^2}{16}=pmfrac{pi^2}{16}\
Ainleftlbrace0,-frac{pi^2}{8}rightrbrace](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+y%281%29%3D%281%2B1%5E2%29%28A%2Bleft.mathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dright.%5E21%29%5E2%3D2left%28A%2Bfrac%7Bpi%5E2%7D%7B16%7Dright%29%5E2%3Dfrac%7Bpi%5E4%7D%7B128%7D%5C%0AA%2Bfrac%7Bpi%5E2%7D%7B16%7D%3Dpmfrac%7Bpi%5E2%7D%7B16%7D%5C%0AAinleftlbrace0%2C-frac%7Bpi%5E2%7D%7B8%7Drightrbrace)
На первый взгляд, получилось два возможных ответа:
![boxed{y(x)=(1+x^2)left.mathop{mathrm{arctg}}right.^4x} boxed{y(x)=(1+x^2)left.mathop{mathrm{arctg}}right.^4x}](https://tex.z-dn.net/?f=boxed%7By%28x%29%3D%281%2Bx%5E2%29left.mathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dright.%5E4x%7D)
или
![displaystyle {y(x)=(1+x^2)left(left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x-frac{pi^2}8right)^2} displaystyle {y(x)=(1+x^2)left(left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x-frac{pi^2}8right)^2}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+%7By%28x%29%3D%281%2Bx%5E2%29left%28left.mathop%7Bmathrm%7Barctg%7D%7Dright.%5E2x-frac%7Bpi%5E2%7D8right%29%5E2%7D)
На самом деле второй ответ – посторонний, z(x) должно принимать только неотрицательные значения, в частности, z(0) = A ≥ 0.
Замечу, что мы потеряли решение z = 0 (но это не страшно, к этой задаче Коши это не имеет отношения). Получилось линейное уравнение, решаем его методом вариации постоянной.
Решаем однородное уравнение:
Полагаем C = C(x) и подставляем найденное решение однородного уравнения в неоднородное:
Определяем значение постоянной интегрирования A, для этого вычисляем значение функции в точке x = 1:
На первый взгляд, получилось два возможных ответа:
или
На самом деле второй ответ – посторонний, z(x) должно принимать только неотрицательные значения, в частности, z(0) = A ≥ 0.
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад