Question

Помогите) очень срочно) задача Коши для д/у.

Answer 1

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Вводим новую функцию $z(x)=sqrt{y(x)}$, тогда $y=z^2$, $y'=2zz'$

$displaystyle y'-frac{2xy}{1+x^2}=frac{4sqrt y}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x\ 2zz'-frac{2xz^2}{1+x^2}=frac{4z}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x\ z'-frac{xz}{1+x^2}=frac{2}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x$

Замечу, что мы потеряли решение z = 0 (но это не страшно, к этой задаче Коши это не имеет отношения). Получилось линейное уравнение, решаем его методом вариации постоянной. 

Решаем однородное уравнение:
$displaystyle z'-frac{xz}{1+x^2}=0\ frac{z'}z=frac{x}{1+x^2}\ left(ln zright)'=(ln Csqrt{1+x^2})'\ z=Csqrt{1+x^2}$

Полагаем C = C(x) и подставляем найденное решение однородного уравнения в неоднородное:
$displaystyle C'sqrt{1+x^2}=frac{2}{sqrt{1+x^2}}mathop{mathrm{arctg}}x\ C'=frac{2mathop{mathrm{arctg}}x}{1+x^2}\C=A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x\ z(x)=sqrt{1+x^2}(A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x)\ boxed{y(x)=(1+x^2)(A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x)^2}$

Определяем значение постоянной интегрирования A, для этого вычисляем значение функции в точке x = 1:
$displaystyle y(1)=(1+1^2)(A+left.mathop{mathrm{arctg}}right.^21)^2=2left(A+frac{pi^2}{16}right)^2=frac{pi^4}{128}\ A+frac{pi^2}{16}=pmfrac{pi^2}{16}\ Ainleftlbrace0,-frac{pi^2}{8}rightrbrace$

На первый взгляд, получилось два возможных ответа:
$boxed{y(x)=(1+x^2)left.mathop{mathrm{arctg}}right.^4x}$
или
$displaystyle {y(x)=(1+x^2)left(left.mathop{mathrm{arctg}}right.^2x-frac{pi^2}8right)^2}$

На самом деле второй ответ – посторонний, z(x) должно принимать только неотрицательные значения, в частности, z(0) = A ≥ 0.