Question

1. В основании прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD у которого BD перпендикулярно AB, AB=3см, BD=4см. Плоскость AB1C1 составляет с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Answer 1

В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм ABCD:
AB=3 см, BD=4 см; BD⊥AB  ⇒
ΔABD - прямоугольный: ∠ABD = 90°  ⇒
гипотенуза AD = 5 см (Пифагорова тройка  3,4,5)
$BK = frac{AB*BD}{AD} = frac{3*4}{5} =2,4$ см
Площадь основания ( параллелограмма)
S₀ = AD*BK = 5*2,4 = 12 см²

Плоскость AB₁C₁ пересекает грань CC₁D₁D по линии DС₁║AB₁
BK⊥AD; BB₁⊥(ABCD) ( так как параллелепипед прямой)      ⇒ 
B₁K⊥AD (по теореме о трёх перпендикулярах)  ⇒
∠B₁KB - угол между плоскостью AB₁C₁D  и плоскостью основания ABCD
⇒   ∠B₁KB = 45°
ΔKBB₁ - прямоугольный: ∠KBB₁ = 90°; ∠B₁KB = 45°  ⇒
∠KB₁B = 45°   и    BB₁ = BK = 2,4 см

Площадь боковой поверхности параллелепипеда
S₁ = (AB + BC + CD + AD) * BB₁ = 16 * 2,4 = 38,4 см²
Площадь полной поверхности параллелепипеда
S = 2S₀ + S₁ = 2*12 + 38,4 = 62,4 см²

Ответ: S = 62,4 см²