Question

решите уравнения с заменой переменной
№167(1,2)

Answer 1

1) $frac{ x^{2} }{(3x+1)^{2}} - frac{6x}{3x+1} + 5 = 0$
Найдем ОДЗ: $3x+1 neq 0$ ⇔ $x neq - frac{1}{3}$
Пусть $t =frac{x}{3x+1}$
$(frac{ x }{3x+1})^{2} - 6frac{x}{3x+1} + 5 = 0$
$t^{2} - 6t + 5 = 0$
По теореме Виетта:
$left { {{t_{1} + t_{2} = 6} atop {t_{1}*t_{2}=5}} right.$ ⇔ $left { {{t_{1} = 5} atop {t_{2}=1}} right.$
Подставим $t_{1}$:
$frac{x}{3x+1} = 5$
$x = 5(3x+1)$
$x = 15x+5$
$-14x = 5$
$x = - frac{5}{14}$ ∈ ОДЗ
Подставим $t_{2}$:
$frac{x}{3x+1} = 1$
$x = 3x+1$
$-2x = 1$
$x = - frac{1}{2}$ ∈ ОДЗ
Ответ: $- frac{5}{14}; - frac{1}{2}$

2) $frac{x-5}{x+3} + frac{x+3}{x-5} = -2 frac{1}{2}$
Найдем ОДЗ: $left { {{x+3 neq 0} atop {x-5 neq 0}} right.$ ⇔ $left { {{x neq -3} atop {x neq 5}} right.$
Пусть $t =frac{x-5}{x+3}$, тогда $frac{1}{t} = frac{x+3}{x-5}$
$t + frac{1}{t} = -2 frac{1}{2} |*t$
$t^{2}+ frac{5}{2} t + 1 = 0$
По теореме Виетта:
$left { {{t_{1} + t_{2} = - frac{5}{2} } atop {t_{1}*t_{2}=1}} right.$ ⇔ $left { {{t_{1} = -2} atop {t_{2}=- frac{1}{2} }} right.$
Подставим $t_{1}$:
$frac{x-5}{x+3} = -2$
$x-5=-2(x+3)$
$x-5=-2x-6$
$3x=-1$
$x=- frac{1}{3}$ ∈ ОДЗ
Подставим $t_{2}$:
$frac{x-5}{x+3} = -frac{1}{2}$
$x-5=-frac{1}{2}(x+3)$
$x-5=-frac{1}{2}x-frac{3}{2}$
$frac{3}{2}x=frac{7}{2}$
$x=frac{7}{2} * frac{2}{3}$
$x=frac{7}{3}$
$x=2frac{1}{3}$ ∈ ОДЗ
Ответ: $- frac{1}{3}; 2 frac{1}{3}$

Answer 2

Спасибо большое