Question

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом 6, 28 м3. Каким должны быть его радиус и высота, чтобы на изготовление бака ушло наименьшее количество листовой стали?

Answer 1

Обозначим: h - высота цилиндра, R - радиус его основания
Объем бака:
                          $displaystyle V= pi R^{2}h$

Площадь полной поверхности бака:

                          $displaystyle S=2 pi R^{2}+2 pi Rh$

В качестве независимой переменной выберем радиус основания R.
Выразим h через R при заданном объеме V:                         
                         
                            $displaystyle h= frac{V}{ pi R^{2}}$

Исследуем площадь поверхности S(R) на экстремум
Подставляем h:
                         
     $displaystyle S(R)=2 pi R^{2}+2 pi Rh=2 pi R^{2}+2 pi R* frac{V}{ pi R^{2}}=2 pi R^{2}+ frac{2V}{R}$

Вычисляем производную:

$displaystyle S'(R)=(2 pi R^{2}+ frac{2V}{R})'=4 pi R- frac{2V}{R^{2}}= frac{4 pi R^{3}-2V}{R^{2}}$                      

Находим стационарные точки:

            $displaystyle S'(R)=0 \ \ frac{4 pi R^{3}-2V}{R^{2}}=0 \ \ \ left { {{4 pi R^{3}-2V=0} atop {R^{2} neq 0}} right. \ \ \ R= sqrt[3]{ frac{V}{2 pi } }= sqrt[3]{ frac{6,28}{2*3,14}}= sqrt[3]{1}=1$

Так как при переходе через это значение R производная меняет знак с минуса на плюс, то данное значение R соответствует минимальной площади поверхности S(R).

Вычислим высоту найденного цилиндра:

$displaystyle h= frac{V}{ pi R^{2}}= frac{V}{ pi ( sqrt[3]{V/2 pi })^{2}}= frac{V sqrt[3]{4 pi ^{2}}}{ pi sqrt[3]{V^{2}}}= frac{ sqrt[3]{4V}}{ sqrt[3]{ pi }}= sqrt[3]{ frac{4V}{ pi } }$

Подставим значение объема из условия:

               $displaystyle h= sqrt[3]{ frac{4*6,28}{3,14}}= sqrt[3]{8}=2$

Таким образом, площадь поверхности цилиндра с объемом 6,28 м³ будет минимальной при высоте h = 2 м и радиусе основания R = 1 м.
Осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.