Question

Помогите решить логарифмическое неравенство,пожалуйста! (с развернутым решением желательно). Log ((2x^2)-3x) по основанию ((3x-4)/(x+1)) >=Log (17x-20-3x^2) по такому же основанию.

Answer 1

$displaystylemathtt{log_{frac{3x-4}{x+1}}(2x^2-3x)geqlog_{frac{3x-4}{x+1}}(17x-20-3x^2)}$

сначала выведем ограничения на основание логарифмов, а уже затем – на их показатели

$displaystylemathtt{left{{{frac{3x-4}{x+1} textgreater 0}atop{frac{3x-4}{x+1}neq1}}rightleft{{{left[begin{array}{ccc}mathtt{x textless -1}\mathtt{x textgreater frac{4}{3}}end{array}right}atop{3x-4neq1+x}}rightleft{{{left[begin{array}{ccc}mathtt{x textless -1}\mathtt{x textgreater frac{4}{3}}end{array}right}atop{xneqfrac{5}{2}}}right}$
$mathtt{xin(infty;-1)U(frac{4}{3};frac{5}{2})U(frac{5}{2};+infty)}$ — ограничения на основания логарифмов

$displaystylemathtt{left{{{2x^2-3x textgreater 0}atop{17x-20-3x^2 textgreater 0}}rightleft{{{x(2x-3) textgreater 0}atop{3x^2-17x+20 textless 0}}rightleft{{{left[begin{array}{ccc}mathtt{x textless 0}\mathtt{x textgreater frac{3}{2}}end{array}right}atop{left{{{x textgreater frac{5}{3}}atop{x textless 4}}right}}right}$
$mathtt{xin(frac{5}{3};4)}$ — ограничения на показатели логарифмов

$displaystylemathtt{left{{{xin(infty;-1)U(frac{4}{3};frac{5}{2})U(frac{5}{2};+infty)}atop{xin(frac{5}{3};4)}}right}$
$mathtt{xin(frac{5}{3};frac{5}{2})U(frac{5}{2};4)}$ — ОДЗ неравенства 

теперь, работая на области допустимых значений, можно опустить основания логарифмов

$displaystylemathtt{2x^2-3xgeq17x-20-3x^2;~5x^2-20x+20geq0;~x^2-4x+4geq0;~}\mathtt{(x-2)^2geq0,~to~x=2}$

окончательный ответ уже включён в ОДЗ, поэтому интервалы не поменяются. ОТВЕТ: $mathtt{xin(frac{5}{3};frac{5}{2})U(frac{5}{2};4)}$