Question

помогите с дифференциальным уравнением (1+4x^3)y"-12x^2y'=0

Answer 1

Данное уравнение не содержит самой неизвестной функции y(x), поэтому можно понизить порядок уравнения. Пусть y'(x)=z(x)⇒y''(x)=z'(x) и уравнение примет вид (1+4*x³)*z'=12*x²*z. Разделив обе части на 1+4*x³, получаем уравнение z'=dz/dx=12*x²*z/(1+4*x³). Умножая обе части на dx и разделив на z, приходим к уравнению dz/z=12*x²*dx/(1+4*x³). А так как d(1+4*x³)=12*x²*dx, то это уравнение можно записать в виде dz/z=d(1+4*x³)/(1+4*x³). Интегрируя обе части, получаем ln/z/=ln/1+4*x³/+lnC1, где C1>0 - произвольная постоянная. Отсюда ln/z/=ln/C1*(1+4*x³)/, z(x)=C1*(1+4*x³) и мы приходим к уравнению y'=dy/dx=C1*(1+4*x³). Умножая на dx, получаем dy=C1*(1+4*x³)*dx. Интегрируя обе части, получаем y(x)=C1*x+C1*x⁴+C2. Проверка: y'(x)=C1+4*C1*x³, y''(x)=12*C1*x², (1+4*x³)*y''-12*x²*y'=12*C1*x²*(1+4*x³)-12*x²*C1*(1+4*x³)=0 - решение найдено верно. Ответ: y(x)=C1*x*(1+x³)+C2.