Question

Решите уравнения:
1) (x² - 5x)(x² - 5x + 10) + 24 = 0
2)
( первое необязательно )

Answer 1

1)
(х² - 5х )(х² - 5х + 10)  + 24  = 0

замена  х² - 5х   = t
t(t + 10)  + 24  = 0
t²  + 10t  + 24  = 0
D = 10²  - 4*1*24 = 100 - 96 = 4 = 2²
D> 0  -  два корня уравнения
t₁ = (-10 - 2)/(2*1) = -12/2  = -6
t₂ = (-10 + 2)/(2*1) = -8/2 = - 4

x²  - 5x  =  - 6
x²  - 5x  + 6 = 0
D = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1 = 1² 
D>0  - два корня уравнения
x₁ = (- (-5)  - 1)/ (2*1) = (5 - 1)/2 = 4/2  = 2
x₂ = (- (-5) +1)/(2*1) = (5+1)/2 = 6/2 = 3

x²  - 5x  = - 4
x²  - 5x  + 4 = 0
D = (-5)²  - 4*1*4 = 25 - 16 = 9 = 3²
D>0  - два корня уравнения
x₁ = (- (-5) - 3)/(2*1) = (5-3)/2 = 2/2 = 1
x₂ = (- (-5) + 3)/(2*1) = (5+3)/2 = 8/2 = 4

Ответ: х₁ = 1 ;  х₂ = 2 ;  х₃ = 3 ;  х₄ = 4 .

2)
(2    - (х² +2х)/3 ) ( 4  - (х² + 2х)/3  )  = 3

замена: (х² + 2х)/3  =  t
(2 - t)(4 - t) = 3
8 - 2t -  4t +  t²   - 3 = 0
t² - 6t  + 5  = 0
D= (-6)²  - 4*1*(-5) = 36  -  20 = 16 = 4²
D>0  -  два корня уравнения
t₁ = (- (-6)  - 4)/(2*1) = (6 - 4)/2  = 2/2  = 1
t₂ = (- (-6) + 4)/(2*1) = (6 + 4)/2  = 10/2  = 5

(x² + 2x)/3  = 1
x²  + 2x = 1*3
x²  +2x  - 3  = 0
D = 2²  - 4*1*(-3) = 4+12 = 16 = 4²
D>0  - два корня уравнения
x₁ = (-2  - 4)/(2*1) = -6/2  =  - 3
x₂ = (-2  +4)/(2*1) = 2/2  = 1

(х² + 2х)/3  = 5
х²  + 2х = 5 * 3
х² + 2х  - 15  = 0
D = 2²  - 4*1*(-15) = 4 + 60 = 64 = 8²
D>0  - два корня уравнения
х₁ = (-2 - 8)/(2*1) = -10/2  = - 5
х₂ = (-2 +8)/(2*1) = 6/2  = 3

Ответ :  х₁ = - 5 ;  х₂ = - 3 ; х₄ =  1  ;  х₅ = 3.