Question

Исследовать сходимость ряда

Answer 1

Используем признак Д'Аламбера. n+1-й член имеет вид a[n+1]=(n+2)!/(n+1)^(n+1), так что a[n+1]/a[n]=(n+2)/(n+1)*(n/(n+1)^n.Теперь найдём lim a[n+1]/a[n]=lim(n+2)/(n+1)*lim(n/(n+1))^n.
1) Вычислим первый предел lim(n+2)/(n+1)=lim(n*(1+2/n))/(n*(1+1/n))=lim(1+2/n)/(1+1/n)=1/1=1.
2) Вычислим второй предел lim(n/(n+1))^n=1/lim((n+1)/n)^n=1/lim(1+1/n)^n. Но предел в знаменателе есть ни что иное, как второй замечательный предел, а тогда lim(n/(n+1))^n=1/e
Отсюда lim a[n+1]/a[n]=1*1/e=1/e<1, а тогда по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.