Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведены медианы AM и BN. Найдите AB, если AM=19, BN=22.

Answer 1

ΔАВС:  ∠С=90° ,  АМ и ВN - медианы  ⇒  ВМ=МС и AN=NC ,
АМ=19 ,  BN=22 /  Найти: АВ.
Обозначим ВМ=МС=а  ,  AN=NC=b .
Применим теорему Пифагора для ΔАСМ и ΔBCN:

$left { {{a^2+(2b)^2=19^2} atop {(2a)^2+b^2=22^2}} right. ; left { {{a^2+4b^2=361} atop {4a^2+b^2=484}} right.; left { {{a^2=361-4b^2} atop {4(361-4b^2)+b^2=484}} right.; left { {{a^2=361-4b^2} atop {1444-15b^2=484}} right.\\ left { {{a^2=361-4b^2} atop {15b^2=960}} right. ; left { {{a^2=105} atop {b^2=64}} right. ; left { {{a=sqrt{105}} atop {b=8}} right.$

$AC=2b=16; ,; ; BC=2sqrt{105}\\AB^2=AC^2+BC^2=256+4cdot 105=676\\AB=26$