Question

Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Сделаем замену Эйлера $y=e^{kx}$, в результате чего получаем характеристическое уравнение

$k^2-3k=0\ k(k-3)=0\ k_1=0;\ k_2=3$

Общее решение однородного уравнения:  $y=C_1+C_2e^{3x}$

$y'=(C_1+C_2e^{3x})'=3C_2e^{3x}$
Осталось найти частное решение, подставляя начальные условия
$displaystyle left { {{0=C_1+C_2} atop {-1=3C_2}} right. ~~Rightarrow~~~ left { {{C_1=frac{1}{3} } atop {C_2=- frac{1}{3} }} right.$


Частное решение:   $y=frac{1}{3} -frac{1}{3} e^{3x}$