Question

На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся незакреплённые горки массами 4m и 5m. На вершине горки массой 4m на высоте h лежит монета массой m (рис. 14). От незначительного толчка монета съезжает с горки в направлении другой горки. На какую максимальную высоту сможет подняться монета на горке массой 5m? Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Шайба не отрывается от поверхностей горок, а поступательно движущиеся горки – от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

Answer 1

Пусть начальная высота монетки H, конечная высота монетки h.

Энергия перед началом движения: E = m g H
Импульс перед началом движения: P = 0
E и P не должны меняться в процессе движения.

Энергия, после спуска с первой горки: E = (m/2) v^2 + (4m/2) u^2
Импульс, после спуска с первой горки: P = m v - 4 m u
(u - скорость движения первой горки после спуска монетки)

Два уравнения и две неизвестные: v, u
(m/2) v^2 + (4m/2) u^2 = m g H
m v - 4 m u = 0

из второго уравнения u = 4v
подставим в первое:
(m/2) 16 u^2 + 4 (m/2) u^2 = m g H
20 u^2 = 2 g H
u^2 = g H /10
u = sqr(g H/10)
тогда v = 4 sqr(g H/10)

Энергия в момент остановки монетки на второй горке:
E = (m/2) y^2 + (5m/2) y^2 + (4m/2) u^2 + m g h
Импульс в момент остановки монетки на второй горке:
P = - 4 m u + m y + (5 m) y
(y - скорость движения второй горки вместе с монеткой в момент остановки монетки относительно второй горки)

Опять получаем систему из 2 уравнений и двух неизвестных y, h:
(m/2) y^2 + (5m/2) y^2 + (4m/2) u^2 + m g h = m g H
- 4 m u + m y + (5 m) y = 0

из второго уравнения: 6 y = 4 u
y = 2 u /3
первое уравнение
(m/2) y^2 + (5m/2) y^2 + (4m/2) u^2 + m g h = m g H
3 y^2 + 2 u^2 + g h =  g H
подставим y = 2 u/3:
(4/3) u^2 + 2 u^2 + g h = g H
g h = g H - (10/3) u^2
подставим u = sqr(g H/10):
g h = g H - g H/3
h = (2/3)H

Ответ: монетка поднимется на 2/3 от начальной высоты