Question

30 баллов даю, Помогите пожалуйста Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка
y’=(x+y)/(x-y)
y(1)=0

Answer 1

$displaystyle y'=frac{x+y}{x-y}\y=tx;y'=t'x+t\t'x+t=frac{x+tx}{x-tx}\frac{xdt}{dx}=frac{1+t^2}{1-t}\frac{dx}{x}=frac{1-t}{1+t^2}dt\intfrac{dx}{x}=intfrac{dt}{1+t^2}-frac{1}{2}intfrac{d(1+t^2)}{1+t^2}\ln|x|=arctgt-frac{1}{2}ln|1+t^2|+C\ln|x^2|=2arctgfrac{y}{x}-ln|frac{x^2+y^2}{x^2}|+C\2arctgfrac{y}{x}-ln|x^2+y^2|=C\y(1)=0\2arctg0-ln1=C\C=-1\2arctgfrac{y}{x}-ln|x^2+y^2|+1=0$