Question

Помогите пожалуйста, с обьяснением!

Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равняется 1 . И надо посчитать вектор AD*CD

И как правильно посчитать угол этого шестиугольника: 1) 180(6-2)=6x
или же 2) 360:6 ????

Answer 1

См. рис1:

Для вычисления суммы углов выпуклого N-многоугольника нужно использовать формулу $180^0*(N-2)$

Треугольник ABC состоит из ОДНОГО треугольника, значит сумма всех его углов равна $180^0*1=180^0*(3-2)$

Четырехугольник DEFG состоит из ДВУХ треугольников, значит сумма всех его углов равна $180^0*2=180^0*(4-2)$

Пятиугольник MNOPQ состоит из ТРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна $180^0*3=180^0*(5-2)$

Шестиугольник RSTUVW состоит из ЧЕТЫРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна $180^0*4=180^0*(6-2)$

........

N-угольник состоит из N - 2 треугольников, значит сумма всех его углов равна $180^0*(N-2)$ (строго доказываеться с помощью метода математической индукции)
------------------------------------------------

Теперь сама задача см. Рис. 2
По скольку 6-угольник ABCDEF правильный, то $vec{CD}=vec{AF}$
также $AB=BC=CD=DE=FE=EA=1$

Находить скалярное произведение $vec{CD}*vec{AD}=vec{AF}*vec{AD}$ будем за опредилением через угол:
$vec{AF}*vec{AD}=|vec{AF}|*|vec{AD}|*cos(angle FAD)=AF*AD*cos(angle FAD).$

Как видим, нам нужно найти величину угла $angle FAD$ и длину стороны $AD$.

(1) $angle FAD$:

угол правильного 6-угольника равен: $frac{180^0*(6-2)}{6}=120^0$

диагональ AD разделяет 6-угольник пополам, и потому угол $angle FAD=frac{1}{2}*120^0=60^0$

(2) $AD$:
для нахождения AD найдем сначала DF за теоремой косинусов в треуг. FED:
$DF^2=EF^2+ED^2-2*EF*ED*cos(angle FED)\\ DF^2=1^2+1^2-2*cos(120^0)\\ DF^2=2-2*(-frac{1}{2})=3\\ DF=sqrt{3}$

также из треуг. FED найдем угол $angle EFD$

треуг. FED равнобедренный, по этому $angle EFD=frac{180^0-angle FED}{2}=frac{180^0-120^0}{2}=30^0$

тогда угол $angle DFA=angle EFA-angle EFD=120^0-30^0=90^0$

из треуг. DFA за теор. Пифагора:
$DA=sqrt{DF^2+FA^2}=sqrt{(sqrt{3})^2+1^2}=sqrt{4}=2$

------------------------\
тогда:
$vec{CD}*vec{AD}=AF*AD*cos(angle FAD)=\\ =1*2*cos(angle 60^0)=1*2*frac{1}{2}=1$

Ответ: 1