Question

4 sin(x) - 6 cos(x) = 1

Answer 1

$4 sinx - 6 cosx = 1$

$2 sinx - 3 cosx = 0.5$

Решим данное уравнение с помощью метода введения вспомогательного угла. 

Разделим обе части уравнения на $sqrt{2^2+3^2} = sqrt{13} .$
Имеем:

$frac{2}{ sqrt{13} } sinx- frac{3}{ sqrt{13} } cosx= frac{1}{2 sqrt{13} }$

так как $( frac{2}{ sqrt{13} } )^2+( frac{3}{ sqrt{13} } )^2=1,$  то примем $frac{2}{ sqrt{13} }$ за косинус некоторого угла φ, а  $frac{3}{ sqrt{13} } -$ за синус этого же  угла.

Следовательно, уравнение примет вид:

$cos$ φ $*sinx-sin$ φ $*cosx= frac{1}{2 sqrt{13} }$

$sin( x-$ φ $)= frac{1}{2 sqrt{13} }$

$x=(-1)^karcsin frac{1}{2 sqrt{13} } +$ φ $+ pi k,$ $k$ ∈ $Z,$  где φ $=arcsin frac{3}{ sqrt{13} }$

$x=(-1)^karcsin frac{1}{2 sqrt{13} } +arcsin frac{3}{ sqrt{13} } + pi k,$ $k$ ∈ $Z$