Question

Даю 30 баллов .
Решить уравнение, допускающее понижение порядка
x^3 * y'' + x^2 * y' = 1

Answer 1

Полагаем z=y', тогда уравнение примет вид x³*z'+x²*y-1=0, или z'+1/x*y-1/x³=0. Это обыкновенное ЛДУ 1-го порядка, решаем его заменой y=u*v, откуда y'=u'*v+u*v'. Уравнение запишется в виде u'*v+u*v'+u*v/x-1/x³=0, или v*(u'+u/x)+u*v'-1/x³=0. Так как одной из функций u или v мы можем распорядиться по произволу, то сделаем это c u и потребуем, чтобы она обращала в нуль выражение в скобках. Получаем уравнение du/dx=-u/x, или du/u=-dx/x. Интегрируя, находим ln/u/=-ln/x/=ln/1/x/. Отсюда u=1/x, и мы приходим к уравнению 1/x*v'=1/x³, или v'=dv/dx=1/*x². Тогда dv=dx/x². Интегрируя, находим v=-1/x+С1, откуда z=u*v=1/x*(-1/x+C1)=-1/x²+C1/x. Тогда y=∫z*dx=-∫dx/x²+C1*∫dx/x=1/x+C1*ln/x/+C2. Проверка: y'=-1/x²+C1/x, y''=2/x³ -C1/x², x³*y''+x²*y'=2-C1*x-1+C1*x=1=1, то есть решение удовлетворяет уравнению. Ответ: y=1/x+C1*ln/x/+C2.