Question

Для очередного покрывала Оле нужны прямоугольники из разных тканей с периметром
70 см. Может ли такой прямоугольник иметь сторону, равную 41 см?
2. Для изготовления красивой наволочки на подушку в технике пэчворк Оле нужны
прямоугольники с площадью 36 кв.см. Сколько существует различных вариантов таких
прямоугольников, если сторона не может быть меньше 3 см?
3. А для одеяла в этой же технике Оля делает заготовки из ткани. От любого
прямоугольника она каждый раз отрезает квадрат со стороной, равной меньшей стороне
прямоугольника. После нескольких таких действий у нее осталось 2 больших квадрата, 3
квадрата поменьше разной величины и 2 квадрата со стороной 1 см. Какими были
размеры исходного прямоугольника ткани?

Answer 1

1) Нет. Периметр P=2a+2b=70.
Если a=41, то 2a=82 > 70.
2) Если хотя бы одна сторона должна быть целой, то: 36=3*12=3,6*10=4*9=4,5*8=5*7,2=6*6.
Всего 6 вариантов.
А если обе стороны должны быть целыми, то 3 варианта.
3) Сначала был прямоугольник x*y, x < y.
От него Оля отрезала 2 больших квадрата x*x.
y = 2x + k
Остался прямоугольник k*x, k < x. Отрезала квадрат k*k.
x = k + m
Остался прямоугольник m*k, m < k. Отрезала квадрат m*m.
k = m + n
Остался прямоугольник n*m, n < m. Отрезала квадрат n*n.
m = n + p
Получилось 3 меньших квадрата разной величины.
Остался p*n, который Оля разрезала на 2 квадрата 1*1.
Значит, p = 1; n = 2. Тогда
m = n + p = 2 + 1 = 3
k = m + n = 3 + 2 = 5
x = k + m = 5 + 3 = 8
y = 2x + k = 2*8 + 5 = 21
Ответ: у Оли был прямоугольник 8*21 см.