Question

Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью u под углом α к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Найти скорость поступательного движения оси катушки и ее угловую скорость вращения. Определить скорость и ускорение точки А. Радиус внутренней части катушки - r , внешней - R .

Определить под каким углом катушка будет стоять на месте, под какими углами начнёт двигаться влево или вправо.

Решение нужно дать с подробным пояснением используемых формул и законов.

Answer 1

1) Условие отсутствия проскальзывания: если катушка поворачивается на угол $alpha$, то она продвигается на $alpha R$. В терминах скоростей: если круговая скорость вращения относительно центра $omega$, то скорость поступательного движения $v=omega R$.

Рассмотрим два положения катушки, между которыми прошло короткое время t. За это время её центр успевает продвинуться от точки O до точки O' на $vt=omega R t$, сама она проворачивается на угол $omega t$.

Вычислим, на какую величину изменилась длина свободной части нити. Во-первых, часть нити намоталась на катушку (изменение длины пропорционально углу, на который провернулась катушка, вклад равен длине дуги AA' $-omega tcdot r$), во-вторых, часть нити освободилась при поступательном движении (вклад равен длине катета в выделенном треугольнике $vtcosalpha$). Суммарное изменение по условию должно равняться ut:
$vtcosalpha-omega tr=ut\ omega(Rcosalpha-r)=u\ boxed{omega=dfrac{u}{Rcosalpha-r}}\boxed{v=omega R=dfrac {uR}{Rcosalpha-r}}$

Если v > 0 (т.е. $Rcosalpha textgreater r$), катушка движется вправо, если v < 0 ($Rcosalpha textless r$) – влево.
Если $Rcosalpha=r$, то движения в плоскости не будет.

2) Скорость и ускорение точки А (рис. 2)
Скорость точки A равна сумме скорости, связанной с вращением относительно центра, которая равна $omega R$ и направлена по касательной, и скорости поступательного движения v. В данном случае $v=omega R$, скорости направлены перпендикулярно друг другу, значит, по правилу сложения векторов полная скорость направлена так, как изображено на рисунке, и её модуль равен $vsqrt 2$.

Поступательное движение равномерное, поэтому ускорение возникает только из-за вращения, оно направлено по направлению к центру тела и равно $omega^2 R$.