Question

Повышенная сложность, параметр. Пусть (х, у) - решение системы уравнений
$left { {{3x + y = a + 2} atop {9x^2 + y^2 = 5a - 2}} right.$
При каком значении параметра а произведение ху принимает наибольшее значение?

Answer 1

Выразив  
y=a+2-3x и подставив во второе уравнение, получаем  
9x^2+(a+2-3x)^2=5a-2   
18x^2-x(6a+12)+a^2-a+6=0 
D=(6a+12)^2-4*18*(a^2-a+6)  = 36(-a^2+6a-8)  
Откуда -a^2+6a-8>=0 
(a-2)(a-4)<=0
2<=a<=4 
 
 (3x+y)^2=9x^2+y^2+6xy = (5a-2)+6xy=(a+2)^2 
 xy=(a^2-a+6)/6  
 
 Откуда надо найти наибольшее значение  функций 
 f(a) = (a^2-a+6)/6 на отрезке  [2,4] 
 f'(a) = (2a-1)/6 откуда 
 f'(a) = 0 
 a=1/2 
 Подставляя  f(1/2) = 23/24 , на концах f(2) = 4/3 ,  f(4) = 3  
 Откуда при  a=4 максимальное 3 
 Ответ a=4 

Answer 2

До 2<=a<=4 я дошел, а про (3x+y)^2=9x^2+y^2+6xy = (5a-2)+6xy=(a+2)^2 не догадался. Большое спасибо!