Question

Тема: Комплексные числа в тригонометрической форме.
Запишите комплексное число в тригонометрической и показательной формах:
z=2-2i

Answer 1

$z=Re+i*Im\\ r=|z|=sqrt{(Re)^2+(Im)^2}\\ cos(phi)=frac{Re}{r}=frac{Re}{sqrt{(Re)^2+(Im)^2}}\\ sin(phi)=frac{Im}{r}=frac{Im}{sqrt{(Re)^2+(Im)^2}}\\ z=r*[cos(phi)+i*sin(phi)]$

$z=2-2*i\\ Re=2 Im=-2\\ r=|z|=sqrt{(Re)^2+(Im)^2}=sqrt{2^2+(-2)^2}=2sqrt{2}\\ cos(phi)=frac{Re}{r}=frac{2}{2sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2}\\ sin(phi)=frac{Im}{r}=frac{-2}{2sqrt{2}}=-frac{sqrt{2}}{2}\\ phi=-frac{pi}{4}\\ z=r*[cos(phi)+i*sin(phi)]\\ z=2sqrt{2}*[cos(-frac{pi}{4})+i*sin(-frac{pi}{4})]\\ z=|z|*e^{iphi}=2sqrt{2}*e^{i*(-frac{pi}{4})}$

-------------------------------------------

Ответ: $2sqrt{2}*[cos(-frac{pi}{4})+i*sin(-frac{pi}{4})]=2sqrt{2}*e^{i*(-frac{pi}{4})}$