Question

Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается сторон BC и AC
в точках M и N соответственно, E и F — середины сторон AB и AC
соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D .
а) Докажите, что треугольник DFN равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника BED , если AB = 20 и ∠ABC=60°

Answer 1

Я сделаю исключение для этой задачки. Потому что результат озадачил и меня. В конце скажу - почему.
1) Тут все очень просто. ∠NMC = ∠FDN; но CN = CM; => ∠NMC = ∠MNC = ∠FND; то есть FD = FN (лежат напротив равных углов в треугольнике FND)
2) А вот тут - занятно. Я приведу полное решение, половину можно было бы не писать.
Пусть BC = a; AC = b; AB = c; AN = AK (K - третья точка касания) = x; BK = BM = y; CM = CN = z; 
x + y = c;
x + z = b;
y + z = a;
Откуда z = (a + b - c)/2; (это записывают еще как p - c);
FN = FC - CN = b/2 - (a + b - c)/2 = (c - a)/2; это равно FD (см 1) )
то есть ED = EF + FD = c/2;
Легко видеть, что треугольник EBD - равнобедренный, EB = ED = c/2;
Это, в свою очередь, означает, что точка D лежит на биссектрисе угла ABC; причем независимо от того, где находятся точки A и С на касательных из точки B; я не вижу тут кого-то "геометрического" объяснения, что странно. Может, кто-нибудь его видит?
Я рассмотрел случай, когда c > a; обратный случай рассматривается аналогично. То есть средняя линия,  параллельная AB, KN и биссектриса угла B тоже пересекаются в одной точке, но уже внутри треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами ED = EB = 10 и углом между ними 120 градусов находятся элементарно. В ответе будет 25√3; если я не ошибся.

Answer 2

Зависит от того, где лежит точка D. В тексте это есть.

Answer 3

Если провести DQ║AB, то по доказанному Вами четырехугольник EBQD - ромб, а "это, в свою очередь, означает, что точка D лежит на биссектрисе угла ABC; причем независимо от того, где находятся точки A и С на касательных из точки B".

Answer 4

Я думал, что исчерпаны все возможности ухудшения сайта, однако - я ошибся! Отключена личная переписка, и комментарии в профилях. Это действительно сильно. Остается отделить решающего от персонализации вообще, чтобы все ответы сначала модерировались, а потом принятые размещались, как ответы сервиса, а не участника, полностью анонимно :).

Answer 5

То ли еще будет! Борьба за безопасность и конфиденциальность... О ЛС полностью с Вами согласен - сильно!

Answer 6

Здравствуйте .Вы бы не могли бы помочь с 1 примером?