Question

Частное решение дифуравнения (фото)

Answer 1

а) Имеем дело с дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Проинтегрируем почленно левую и правую части уравнения дважды

$displaystyle y'=int(4x+cos 2x)dx=2x^2+0.5sin 2x+C_1\ \ y=int(2x^2+0.5sin2x+C_1)dx= frac{2x^3}{3}-0.25 cos 2x+C_1x+C_2$

Найдем частное решение, подставив начальные условия:
$displaystyle left { {{2=C_1} atop {3=0.25cos 0+C_2}} right. ~~~Rightarrow~~~ left { {{C_1=2} atop {C_2=2.75}} right.$


$boxed{y=frac{2x^3}{3}-0.25 cos 2x+2x+2.75}$ - частное решение.

б) Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное.
Пусть $y=exp{ kx}$, тогда получим характеристическое уравнение

$k^2+2k-15=0\ (k+1)^2-16=0\ (k+1+4)(k+1-4)=0\ (k+5)(k-3)=0\ k_1=3\ k_2=-5$

$y=C_1e^{-5x}+C_2e^{3x}$ - общее решение однородного уравнения

$y'=-5C_1e^{-5x}+3C_2e^{3x}$
Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия

$displaystyle left { {{3=C_1+C_2} atop {1=-5C_1+3C_2}} right. ~~~Rightarrow~~~ left { {{C_1=3-C_2} atop {1=-5(3-C_2)+3C_2}} right. \ \ 1=-15+5C_2+3C_2\ \ 8C_2=16\ \ C_2=2\ \ C_1=3-2=1$


$boxed{y=e^{-5x}+2e^{3x}}$ - частное решение