Question

Высота прямоугольного треугольника разделила его на два треугольника, отношение площадей которых равно 4 : 9. Найдите тангенс меньшего из острых углов этого треугольника.

Answer 1

Метод #1
Высота для дочерних треугольников одинакова, значит, отношение площадей равно отношению отрезков гипотенузы
Синий и красный треугольники подобны (∠β одинаков, и по прямому углу в каждом)
h/9 = 4/h
h² = 4*9 = 36
h = 6
tg (β) = 6/9 = 2/3
----------
Метод #2
Теорема Пифагора 3 раза
- для большого треугольника
a² + b² = (9+4)²
- для синего треугольника
h² + 9² = a²
- для красного треугольника
h² + 4² = b²
---
h² + 9² + h² + 4² = (9+4)²
2h² + 81 + 16 = 13²
2h² + 97 = 169
2h² = 72
h² = 36
h = 6
tg(β) = 6/9 = 2/3

Answer 2

В данном случае отрезки гипотенузы — это не сходственные стороны: в случае синего треугольника это больший катет, в случае красного — меньший катет.

Answer 3

Если h равен 6, как написал автор решения, то площадь красного треугольника 24 см², площадь синего 54 см², отношение площадей 24/54=4/9, как и задано условием. Так что всё правильно.

Answer 4

Да, всё верно! Тупанул чуток:)

Answer 5

Тут есть вагон и маленькая тележка разных методов решения.

Answer 6

Лишь бы учитель не требовал решение только тем, единственно верным методом, который ему нравится.