Question

Докажите что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел каждое из которых не делится на цело на 3 кратно 3

Answer 1

Первое число x, второе число y. Эти числа не делятся нацело на 3, тогда
x = 3p + r₁,
y = 3q + r₂,
причем r₁ и r₂ не обращаются в нуль и равны (каждый по отдельности) либо 1, либо 2. (r₁ и r₂ - это остатки от деления на 3 чисел x и y). p и q - какие-то целые числа.
Итак, рассмотрим разность квадратов x и y.
x² - y² = (3p + r₁)² - (3q + r₂)² = 9*p² + 6pr₁ + r₁² - (9*q² + 6qr₂ + r₂²) = 
 = 3*( 3p²+ 2pr₁ - 3q² - 2qr₂ ) + (r₁² - r₂²) = 3*T + R,
где T = 3p²+ 2pr₁ - 3q² - 2qr₂, - какое-то ЦЕЛОЕ ЧИСЛО.
R = (r₁² - r₂²),
рассмотрим все возможные случаи для R в зависимости от r₁ и r₂.
r₁ = 1, r₂ = 1, тогда R = 1 - 1 = 0. Тогда x² - y² = 3*T, то есть (x² - y²) делится нацело на 3.
r₁ = 1, r₂ = 2, тогда R = 1 - 4 = -3, и тогда x² - y² = 3*T - 3 = 3*(T-1), где
(T-1) - опять целое число (т.к. T - целое). То есть (x² - y²) делится нацело на 3.
r₁ = 2, r₂ = 1, тогда R = 4 - 1 = 3, и (x² - y²) = 3*T + 3 = 3*(T+1), где
(T+1) опять какое-то целое число и (x² - y²) делится нацело на 3.
r₁ = 2, r₂ = 2, тогда R = 4 - 4 = 0, и (x² - y²) = 3*T, что означает, что 
(x² - y²) делится нацело 3.
Итак, во всех случаях (x² - y²) делится нацело на 3.
Ч.Т.Д.