Question

В параллелограмме abcd заданы координаты вершин А(1;4) В (-5;-3) и точка пересечения диагоналей Е (1;0). найти площадь параллелограмма.

Answer 1

Даны вершины А(1;4), В(-5;-3) параллелограмма АВСД и точка пересечения диагоналей Е (1;0). 

Находим координаты точки С, симметричной точке А относительно точки Е.
х(С) = 2х(Е) - х(А) = 2*1 - 1 = 1,
у(С) = 2у(Е) - у(А) = 2*0 - 4 = -4.  Точка С(1; 4),

Далее есть несколько вариантов нахождения площади параллелограмма.
1) Есть прямая формула по координатам точек треугольника АВС найти      его площадь.
    А площадь параллелограмма равна двум площадям треугольника            АВС.
    S(АВС)=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 24.
    S(АВСД) = 2*24 = 48.


2) Можно сделать то же самое с применением формулы Герона для            определения площади треугольника АВС.
    Находим длины сторон:
    АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √ 85 ≈ 9,219544457. 
    ВC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √37 ≈ 6,08276253.
    AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √64 = 8.
    Периметр равен Р =  23,302307,
    полупериметр р =  11,65115.
    S(АВС) = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = 24.
    S(АВСД) = 2*24 = 48.

3) площадь параллелограмма через стороны  и угол А: S = absin A.
     Угол находим по теореме косинусов после определения диагонали           ВД.
    Решение громоздкое.

4) площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними.
    Угол между диагоналями находится после определения их угловых          коэффициентов. Тоже решение не простое.