Question

Найти общее решение системы дифференциального уравнения и выделить частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям

Answer 1

Продифференцируем первое уравнение, имеем

$x''=7x'+3y'~~~Rightarrow~~~ frac{1}{3} x''-frac{7}{3}x'=y'$ и  $y=frac{1}{3} x'-frac{7}{3} x$

Подставляем все эти данные во второе уравнение, получим

$frac{1}{3} x''-frac{7}{3} x'=x+5(frac{1}{3} x'-frac{7}{3} x)\ \ frac{1}{3} x''-frac{7}{3} x'=x+frac{5}{3} x'-frac{35}{3} x\ \ frac{1}{3} x''-4x'+frac{32}{3}x =0~~~|cdot 3\ \ x''-12x'+32x=0$

последнее уравнение является дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, однородным уравнение.

Пусть $x=e^{kt}$, тогда получим характеристическое уравнение:
$k^2-12k+32=0\ (k-6)^2-4=0\ \ k_1=4;~~~k _2=8$

$x=C_1e^{4t}+C_2e^{8t}$

Тогда 

$y=frac{1}{3} (C_1e^{4t}+C_2e^{8t})'_t-frac{7}{3} (C_1e^{4t}+C_2e^{8t})=\ \ = frac{4}{3} C_1e^{4t}+frac{8}{3} C_2e^{8t}-frac{28}{3} C_1e^{4t}-frac{56}{3} C_2e^{8t}=-8C_1e^{4t}-16C_2e^{8t}$

Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия

$displaystyle left { {{2=C_1+C_2} atop {2=-8C_1-16C_2}} right. ~~~Rightarrow~~~ left { {{16=8C_1+8C_2} atop {2=-8C_1-16C_2}} right. \ \ \ 18=-8C_2~~~Rightarrow~~~ C_2=-2.25\ \ C_1=2-C_2=2+2.25=4.25$


Частное решение:  $boxed{x=4.25e^{4t}-2.25e^{8t}}$ и $boxed{y=-34e^{4t}+36e^{8t}}$