исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики y=(x-2)^2x^2+4
Ответы
Исследовать функцию f (x) = (x-2)²/(x²+4) и построить ее график.
Решение:
1. Область определения функции - вся числовая ось.
2. Функция f (x) = (x-2)²/(x²+4) непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
f(–x) = (x-2)²/(x²+4) = ((-x)-2)²/((-x)²+4) = (-x-2)²/(x²+4) ≠ f(x) и
f(–x) = (x-2)²/(x²+4) = ((-x)-2)²/((-x)²+4) = (-(x+2))²/(x²+4) ≠ –f(x)
Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:Ox: y=0, (x-2)²=0, x–2=0 ⇒ x=2/ Значит (2; 0) - точка пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0, (0-2)²/(0²+4) = 4/4 = 1. Значит (0;1) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
y'=(4(х²-4))/(х²+4)²)
x²–4 =0 ⇒ х² = 4, x = 2, x = -2 - критические точки.
Имеем 3 интервала монотонности функции: (-∞; -2), (-2; 2) и (2; ∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -3 -2 0 2 3y' = 0,1183 0 -1 0 0,1183.
· Минимум функции в точке: х = 2,
· Максимум функции в точке: х = -2.
· Возрастает на промежутках: (-∞; -2) U (2; ∞)
· Убывает на промежутке: (-2; 2).
6. Вычисление второй производной: y''=(8x(x²-12))/((x²+4)³)/.
7. Промежутки выпуклости и точки перегиба:
Приравняв нулю, находим 3 точки перегиба графика функции:
8x(x²-12) = 0 , x = 0, х = 2√3 и х = -2√3.
x = -4 -3,4641 -1 0 1 3,4641 4y'' = -0,016 0 0,704 0 -0,704 0 0,016
Имеем 4 интервала, (-∞; -2√3), (-2√3; 0), (0; 2√3) и (2√3; +∞).
Интервалы выпуклости или вогнутости определяем по знаку второй производной: где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:
· Вогнутая на промежутках: (-∞; -2√3) и (0; 2√3).
· Выпуклая на промежутках: (-2√3; 0) и (2√3; ∞).
9. Найдем значение функции в дополнительных точках: они и график приведены в приложении.