Question

100 баллов. Тройной интеграл. Прошу подробно. Фейковые сразу бан).

Answer 1

Перейдём от переменных {x, y, z} к новому набору переменных {u, y, z}, где u = xyz. В новых переменных V задаётся неравенствами 0 ≤ u ≤ 1, y ≥ 1, z ≥ 1.

Якобиан обратного преобразования:
$dfrac{partial(u,y,z)}{partial(x,y,z)}=dfrac{partial u}{partial x}=yz$
Якобиан обратного преобразования положительный на V, поэтому переход к новым переменным точно взаимно-однозначный, якобиан прямого преобразования 
$J=dfrac{partial(x,y,z)}{partial(u,y,z)}=left(dfrac{partial(u,y,z)}{partial(x,y,z)}right)^{-1}=dfrac1{yz}$

Теперь тройной интеграл легко сводится к повторным:
$displaystyleiiint_V e^{xyz}yx^2,dV=iiint_V e^u ycdotleft(frac{u}{yz}right)^2 |J|,du,dy,dz=\=int_0^1 u^2e^u,duint_1^inftyfrac{dy}{y^2}int_1^inftyfrac{dz}{z^3}$

Второй и третий интегралы табличные, первый берётся по частям:
$displaystyleint_0^1u^2e^u,du=left.(u^2-2u+2)e^uright|_0^1=e-2$

Ответ:
$dots=(e-2)cdot 1cdotdfrac12=dfrac {e-2}2$

В принципе, выписывать новые переменные было необязательно, можно было бы проинтегрировать и так, сначала по x (0 ≤ x ≤ 1/yz), затем получатся такие же интегралы по y и z.

Answer 2

Описки/арифметику поправлю сейчас.

Answer 3

Готово.

Answer 4

e/2 - 1