Question

помогите пожалуйста,если можно с подробным решением
{log2 X*log(x-3y)=2
{x*y^logx Y=y^5/2

Answer 1

{log₂х*logₓ(x-3y)=2
{x*y^(logₓ(y))=y^(5/2)
ОДЗ х>0, y>0 x≠1
Преобразовываем первое уравнение
                  log₂x*logₓ(x-3y)=2
Применяем свойство логарифма logₐ(x) =1/logₓ(a)
                 (1/logₓ(2))*logₓ(x-3y) = 2
                     logₓ(x-3y)/logₓ(2) = 2
Применяем свойство логарифма  logₐ(b)/logₐ(x)=logₓ(b) 
                   log₂(x-3y) = 2               
                   log₂(x-3y) = log₂(4)
                          x -3y = 4
Преобразуем второе уравнение 
                      x*y^(logₓ(y))=y^(5/2)
Так как по ОДЗ х >0 и х≠1 то берем логарифм от правой и левой части уравнения по основанию х                         
               logₓ(x*y^(logₓ(y)))=logₓ(y^(5/2))             
       logₓ(x) + logₓ(y^(logx(y))) = (5/2)logₓ(y) 
              1 + logₓ(y)*logₓ(y) =(5/2)logₓ(y) 
 Сделаем замену переменных и решим квадратное уравнение 
                 logₓ(y) =z   
              z² - (5/2)z + 1 = 0
D = 25/4  - 4 = 9/4
z₁ = (5/2-3/2)/2 =1/2
                                 logₓ(y) = 1/2
                                          y = √x
z₂ = (5/2 + 3/2)/2 = 2
                                  logₓ(y) = 2
                                          y = x²

Таким образом получили две системы уравнений
{x-3y = 4                     и                       {x-3y = 4
 {y=√x                                                    {y=x²
Легко показать что правая система уравнений решений не имеет
После подстановки второго уравнений в первое
                      x  - 3x² - 4 = 0
                      3x² - x + 4 = 0
                     D = 1 - 4*3*4 <0
Решаем левую систему уравнений
                         x - 3√x = 4 
                             x - 4 = 3√x
Возводим обе части уравнения в квадрат
                  x² - 8x + 16 = 9x 
                 x² - 17x + 16 = 0
D =17² - 4*16 = 225
x₁ = (17 - 15)/2 = 1 Не входит в ОДЗ
x₂ = (17 + 15)/2 = 16
Получили единственное решение   x=16 y=√16 = 4
Ответ x=16, y=4

Answer 2

Спасибо большое,очень помогло.