Question

почему в решениях тригонометрический уравнений в некоторых случаях ставится и n, и k, а в некоторых только n

Answer 1

Тригонометрические функции периодичны. То есть, например,
если решением уравнения 2х = 10 является единственное число 5, то у уравнения cosx = 0 решений бесконечное множество, так как косинус обращается в ноль при:
                                       π/2 + πk, где k∈Z (множеству целых чисел)
В данном случае k - переменная. Иногда вместо нее употребляется n. Принципиального различия в обозначении переменной нет.
Выглядит это так:
                                     π/2 + πn,  n∈Z.

Некоторые тригонометрические уравнения имеют решения с периодом 2π:
      sinx = -1  ⇔  x = -π/2 + 2πn,  n∈Z

При решении некоторых тригонометрических уравнений могут образоваться 2 разных корня. Например решением уравнения:
            sin²x - sinx*cosx -2cos²x = 0
будут:
            -π/4 + πk;  arctg2 + πn,   n;k ∈ Z
В этом случае n и k являются независимыми друг от друга переменными, поэтому для периода каждого корня используется разное ее обозначение.