Question

всегда ли верны равенства корень а в шестой степени = а в третьей стопени

Answer 1

Под корнем чётной степени может стоять только неотрицательное действительное число.
$( sqrt{a} )^6$   -  выражение справедливо для a≥0
a³    -   выражение справедливо для всех действительных чисел  а ∈ R
$( sqrt{a} )^6 = a^3$    равенство верное для всех действительных a ≥ 0
Для отрицательных значений а  равенство неверное, так как под корнем чётной степени не может стоять отрицательное действительное число
------------------------------------------------------------------------------------------------

Однако  в области комплексных чисел данное равенство верно всегда. Например,
$( sqrt{-7} )^6 = sqrt{7} ^6*i^6 = 7^3*(i^2)^3=7^3*(-1)^3 = -7^3=(-7)^3$,
где $i= sqrt{-1}$

Answer 2

$sqrt{a} ^{6}=a^{3}$ возведем обе части $sqrt{ }^{3}$, но поставим ОДЗ a⩾0
$sqrt{a}^{2}=a$
a∈[0, +∞)