Question

Помогите пожалуйста!!! Исследуйте функцию на экстремум z=x^3+y^3+6xy

Answer 1

Сначала нужно найти первую производную, 
т.к. z-производная , по х=3х^2-6у
      z-производная , по у=3у^2-6х
Теперь необходимо найти критические точки
z - производная, х=0
z - производная, у=0
После всего этого необходмо решить систему:
х^2-2у=0
у^2-2х=0
(0;0) 2;2) - критические точки.  
Исследуя (2;2), находим вторые производные:
z" по х,х=6х;
z"по х,у=-6;
z" по у,у=6у.
Подставляя х=2, у=2 находим коэффициенты
А=12, В=-6, С=12.
Вычислим определитель: первая строка А В, вторая строка В С, он равен 144-36>0. Значит, в этой точке есть экстремум. Т.к. А>0 , то он min.
zmin(2;2)=8+8-24=-8.
Ответ. (2,2) -  точка min, z min=-8