Question

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогональных преобразований
$x_{1}^{2} +x_{2}^{2} +x_{3}^{2} +x_{4}^{2} -2x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}-4x_{1}x_{4}-4x_{2}x_{3}+6x_{2}x_{4}-2x_{3}x_{4}$
P.S. Перепроверял несколько раз получаются нулевые собственные векторы. Объясните в чем ошибка

Answer 1

Матрица, соответствующая данной квадратичной форме:
$A=begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \ -1 & 1 & -2 & 3 \ 3 & -2 & 1 & -1 \ -2 & 3 & -1 & 1 end{pmatrix}$

Нужно найти собственные числа и собственные вектора этой матрицы. Собственные числа находим из уравнения det(A - λE) = 0:
$det (A-lambda E)=begin{vmatrix}1-lambda & -1 & 3 & -2 \ -1 & 1-lambda & -2 & 3 \ 3 & -2 & 1-lambda & -1 \ -2 & 3 & -1 & 1-lambdaend{vmatrix}=dots$

Прибавим к первой строке все остальные строки, после вынесения общего множителя обнулим первый столбик во всех строках, кроме первой:
$dots=begin{vmatrix}1-lambda & 1-lambda & 1-lambda & 1-lambda \ -1 & 1-lambda & -2 & 3 \ 3 & -2 & 1-lambda & -1 \ -2 & 3 & -1 & 1-lambdaend{vmatrix}=\=(1-lambda)begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \ -1 & 1-lambda & -2 & 3 \ 3 & -2 & 1-lambda & -1 \ -2 & 3 & -1 & 1-lambdaend{vmatrix}=\=(1-lambda)begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 2-lambda & -1 & 4 \ 0 & -5 & -2-lambda & -4 \ 0 & 5 & 1 & 3-lambdaend{vmatrix}=dots$

Раскладываем определитель по первому столбцу. Опустим пока множитель (1 - λ), сложим прибавим к третьей строчке вторую, вынесем общий множитель и обнулим третий столбец везде, кроме последней строки:
$dfrac{dots}{(1-lambda)}=begin{vmatrix}2-lambda & -1 & 4 \ -5 & -2-lambda & -4 \ 5 & 1 & 3-lambdaend{vmatrix}=begin{vmatrix}2-lambda & -1 & 4 \ -5 & -2-lambda & -4 \ 0 & -1-lambda & -1-lambdaend{vmatrix}=\=(-1-lambda)begin{vmatrix}2-lambda & -1 & 4 \ -5 & -2-lambda & -4 \ 0 & 1 & 1end{vmatrix}=(-1-lambda)begin{vmatrix}2-lambda & -5 & 0 \ -5 & 2-lambda & 0 \ 0 & 1 & 1end{vmatrix}=dots$

Раскладываем определитель по третьему столбцу, после отбрасывания множителей остается определитель матрицы 2x2, который равен 
$(2-lambda)^2-(-5)^2=(-3-lambda)(7-lambda)$

Итак, 
$det (A-lambda E)=(1-lambda)(-1-lambda)(-3-lambda)(7-lambda)=0\ lambda_{1,2,3,4}in{pm 1,-3,7}$

Находим собственные векторы:
1) с.ч. = 1
Сумма всех строк равна 0, выкинем последнюю. Приведем матрицу к красивому виду (насколько сможем):
$A-E=begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 & -2 \ -1 & 0 & -2 & 3 \ 3 & -2 & 0 & -1 \ -2 & 3 & -1 & 0 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 & -2 \ -1 & 0 & -2 & 3 \ 3 & -2 & 0 & -1 end{pmatrix}sim \sim begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -3 \ 0 & -1 & 3 & -2 \ 0 & -2 & -6 & 8 end{pmatrix} sim begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -3 \ 0 & -1 & 3 & -2 \ 0 & 1 & 3 & -4 end{pmatrix} sim begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 1 & -1 end{pmatrix}$

Из полученного вида матрицы получаем, что уравнению удовлетворяют все вектора вида (a, a, a, a); с.в. (1, 1, 1, 1)

2) c.ч. = -1
$A+E=begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & -2 \ -1 & 2 & -2 & 3 \ 3 & -2 & 2 & -1 \ -2 & 3 & -1 & 2 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&0&0&1\0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & -1 end{pmatrix}$
с.в. (1, 1, -1, -1)

3) с.ч. = -3
$A+3E=begin{pmatrix} 4 & -1 & 3 & -2 \ -1 & 4 & -2 & 3 \ 3 & -2 & 4 & -1 \ -2 & 3 & -1 & 4 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&1&0&0\0 & 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 end{pmatrix}$
с.в. (1, -1, -1, 1)

4) с.ч. = 7
$A-7E=begin{pmatrix} -6 & -1 & 3 & -2 \ -1 & -6 & -2 & 3 \ 3 & -2 & -6 & -1 \ -2 & 3 & -1 & -6 end{pmatrix}sim begin{pmatrix} 1&1&0&0\0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 end{pmatrix}$
c.в. (1, -1, 1, -1)

Собственные вектора уже ортогональны, но еще не отнормированы. Длина каждого равна 1/2, так что окончательно получаем, что под действием замены
$begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4end{pmatrix}=begin{pmatrix}frac12&frac12&frac12&frac12\frac12&frac12&-frac12&-frac12\frac12&-frac12&-frac12&frac12\frac12&-frac12&frac12&-frac12end{pmatrix}begin{pmatrix}y_1\y_2\y_3\y_4end{pmatrix}$
(по столбцам записаны собственные векторы) квадратичная форма примет вид
$y_1^2-y_2^2-3y_3^2+7y_4^2$

Answer 2

Можете более конкретно объяснить почему мы можем исключить 1 строку когда сумма строк равна нулю. Заранее спасибо.

Answer 3

Когда мы решаем линейную систему, можно совершать эквивалентные преобразования: прибавлять к любой строчке линейную комбинацию других строчек, умножать строку на ненулевое число, менять строки местами, убирать нулевые строки. Если прибавить к четвертой строке 3 других, получится нулевая строка.