Question

Наткнулся на интеграл $intfrac{xe^{x}}{e^{x}+1}, dx$
Вроде ничего необычного, стал интегрировать по частям, получилось $xln(e^{x}+1)-intln(e^{x}+1), dx$
Но интеграл $intln(e^{x}+1), dx$ не решается...

Я не математик, но мне стало интересно, почему интеграл может не иметь решения и что это вообще значит. Почему бы не быть такой функции, производная которой равна $ln(e^{x}+1)$? А если её нет, то какой вообще от этого интеграла смысл, что он собой являет?

А что насчёт такого: $int x^{2}cdot e^{x^{2}}, dx$? Я нашёл его среди примеров неберущихся интегралов. Читаю: "Неберущийся, то есть такой, который невозможно выразить через элементарные функции." Значит ли это то же самое, что "не имеющий решения" и является ли тогда первый интеграл неберущимся? Если нет, то что вообще означает "неберущийся интеграл", от него тогда какой смысл и как его воспринимать?

А если ввести в калькулятор интеграл $int xe^{-x-x^{2}}, dx$, то в результате выходит какая-то муть с функцией $erf$ и тем же $e^{-x-x^{2}}$ на хвосте. Эта самая $erf$, насколько я понимаю, какая-то функция ошибки, которая свидетельствует о том, что интеграл неберущийся. Или нет? Если да, то в каких вообще случаях эта $erf$ появляется и что она вообще значит?

Answer 1

Под "неберущимся" интегралом обычно подразумевается то, что первообразную невозможно выразить в элементарных функциях. Но это не значит, что интеграла не существует, или что у него меняется смысл. Просто у нас нет элементарной функции, чтобы выразить этот интеграл.

Часто, когда встречается неберущийся интеграл при исследовании чего-то, его просто обозначают как какую-то функцию или какую-то величину. Хоть для этой новой величины нет выражения в элементарных функциях, ее свойства все равно можно исследовать, имея интегральное выражение.

Функция ошибок - это интегральная функция (функция, заданная в виде интеграла с переменным пределом интегрирования). Неберущихся интегралов множество (можно сказать, что берущиеся - очень малая часть) и преобразованиями интегралы можно приводить к другому виду, и некоторые из них можно привести к выражению, содержащему функцию ошибок. Но это совсем не значит, что все неберущиеся интегралы выражаются через функцию ошибок.

Если вы продолжите изучать матан, то увидите, что берется в элементарных функциях ничтожная часть интегралов. Но потом вам дадут новый аппарат для взятия определенных интегралов (ТФКП), который сильно увеличит ваши возможности интегрирования, но все равно, большая часть интегралов останется неберущимися. Наш препод часто говорил, что человечество умеет дифференцировать (брать производные), для этого есть алгоритм, а вот интегрировать мы не умеем, оно - близко к творчеству.

В физике неберущиеся интегралы берутся приближенно или численно, а иногда и просто остаются как какое-то введенное обозначение за ненадобностью)