Question

Найдите все целые числа x, y, z такие, что:
$7 {x}^{2} + {y}^{2} + 3 {z}^{2} = 21 + 6xz$

Answer 1

7x^2 + y^2 +3z^2 - 6xz =21
4x^2  + y^2 + 3x^2 - 6xz +3z^2 = 21
4x^2  + y^2 + 3( x-z)^2 =21

Так как левая часть содержит только положительные числа (квадраты с коэф-тами), причем их сумма не должна превышать 21, найдем возможные целые значения слагаемых < 21
4x^2 < 21 для значений х равных -2, -1, 0, 1, 2 , при этом 4x^2 может принимать значения 0, 4 или 16

y^2 < 21  для y  -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, при этом y^2 может принимать значения 0, 1, 4 , 9, 16
3( x-z)^2 < 21 для (x-z)  -2, -1, 0, 1, 2, при этом 3( x-z)^2 может принимать значения 0, 3, 12
21 из этих слагаемых можно составить единственным образом (соответственно)
0 + 9 + 12
То есть x=0, y=+-3, (x-z)=+-2, так как x=0, то z=+-2
Итого варианты для x,y,z
0 3 2
0 3 -2
0 -3 2
0 -3 -2