Question

Найти общее решение дифференциального уравнения dy/dx+xy=x

Answer 1

$frac{dy}{dx} +xy = x \ \ frac{dy}{dx} = x - xy \ \ frac{dy}{dx} = x(1 - y) \ \ frac{dy}{1-y} = xdx$
Переменные разделили. Теперь можно интегрировать обе части.
$intlimits {frac{dy}{1-y}} = intlimits {x} , dx \ \ - intlimits {frac{d(-y)}{1-y}} = intlimits {x} , dx \ \ - intlimits {frac{d(1-y)}{1-y}} = intlimits {x} , dx \ \ -ln(1-y) = frac{x^2}{2} + C_1 \ \ ln(1-y) = -frac{x^2}{2} - C_1 \ \ 1-y = e^{-frac{x^2}{2} - C_1}= e^{-frac{x^2}{2}}*e^{- C_1}= C{_2} e^{-frac{x^2}{2}} \ \ y = 1 - C{_2} e^{-frac{x^2}{2}} = 1 + C e^{-frac{x^2}{2}}$
По ходу дела одни константы заменяли на другие. От этого ничего не меняется.
Ответ:$y = 1 + C e^{-frac{x^2}{2}}$