Question

найти все значения а при каждом из которых система уравнений х*4 - у*4 = 12а - 28 , х*2 + у* 2= а имеет ровно 4 решения»

Answer 1

Решим систему уравнений аналитически.
$displaystyle left { {{x^4-y^4=12a-28} atop {x^2+y^2=a}} right. ~~Rightarrow~~~ left { {{(x^2+y^2)(x^2-y^2)=12a-28} atop {x^2+y^2=a}} right. Rightarrow\ \ \ Rightarrow left { {{a(x^2-y^2)=12a-28} atop {x^2+y^2=a}} right. ~~Rightarrow~~ left { {{x^2-y^2= frac{12a-28}{a} } atop {x^2+y^2=a}} right.$

Сложим первое и второе уравнение, получим:

$x^2= dfrac{a^2+12a-28}{2a}$ - существует, когда $dfrac{a^2+12a-28}{2a} textgreater 0$

Откуда получаем решение этого неравенства $a in (-14;0)cup(2;+infty)$

$y^2=a-x^2= dfrac{a^2-12a+28}{2a}$ - существует, когда $dfrac{a^2-12a+28}{2a} textgreater 0$

$a in (0;6-2 sqrt{2} )cup(6+2 sqrt{2} ;+infty)$ - решение неравенства $dfrac{a^2-12a+28}{2a} textgreater 0$


Тем не менее из второго уравнения стоит заметить что $a textgreater 0$ тогда пересечение этих решений неравенств, есть $a in(2;6-2 sqrt{2} )cup(6+2 sqrt{2} ;+infty)$


Ответ: $a in(2;6-2 sqrt{2} )cup(6+2 sqrt{2} ;+infty)$