Question

log3(x^2+2)- log 3 (x^2-x+12) >= log3(1+ 1/x)

Answer 1

$log_3(x^2+2)- log_3 (x^2-x+12) geq log_3Big(1+ dfrac{1}{x}Big)$

ОДЗ : 1) x²+2>0    ⇒   x∈R

         2) x²-x+12>0   ⇒  D=1-4·12=-47<0   ⇒  x∈R

    3) $1+dfrac{1}{x}>0~~Leftrightarrow~~dfrac{x+1}{x}>0~~Rightarrow~~xin (-infty;-1)cup(0;+infty)$

ОДЗ :  x ∈ (-∞; -1) ∪ (0; +∞)

$log_3(x^2+2)- log_3 (x^2-x+12) geq log_3Big(dfrac{x+1}{x}Big)\ \ log_3Big(dfrac{x^2+2}{x^2-x+12}Big) geq log_3Big(dfrac{x+1}{x}Big)\ \ 3>1~~~Rightarrow\ \ dfrac{x^2+2}{x^2-x+12} geq dfrac{x+1}{x}\ \ \ dfrac{x^2+2}{x^2-x+12} - dfrac{x+1}{x}geq 0\ \ \ dfrac{x(x^2+2)-(x+1)((x^2-x+12))}{(x^2-x+12)x} geq 0\ \ \ dfrac{x^3+2x-(x^3+x^2-x^2-x+12x+12)}{(x^2-x+12)x} geq 0\ \ \ dfrac{x^3+2x-x^3-11x-12}{(x^2-x+12)x} geq 0$

$dfrac{-9x-12}{(x^2-x+12)x} geq 0~~~~|:(-3)\ \ \ dfrac{3x+4}{(x^2-x+12)x} leq 0$

x² - x + 12 > 0   всегда, так как D < 0    ⇒

$dfrac{3x+4}{(x^2-x+12)x} leq 0~~~Leftrightarrow~~~ dfrac{3x+4}{x} leq 0$

Метод интервалов : x₁ = $-1frac{1}{3}$;   x₂ = 0

+++++++++++ $[-1frac{1}{3}]$ ----------- (0) +++++++++++> x

$boldsymbol{x in [-1frac{1}{3};0)}$

С учётом ОДЗ :    $boxed{boldsymbol{x in [-1frac{1}{3};-1)}}$