Question

ПОЖАЛУЙСТА 19 БАЛЛОВ
ln(6x)-6x+18 наибольшее значение функции на промежутке [1/12 ; 5/12] 

Answer 1

$f'(x)= frac{1}{6x} *6 - 6 = frac{1}{x} -6$

Экстремум при х = 1/6 . Так как логарифм стремится к - ∞ при приближении к нулю, этот экстремум - максимум функции
Значение функции в точке экструмума
y = ln 1 - 6 * 1/6 + 18 = 0 -1 + 18 = 17

 

Answer 2

Ответ:

Наибольшее значение функции y(1/6)=17

Пошаговое объяснение:

Функция y=ln(6·x)-6·x+18 определена только при x>0, так как одно из слагаемых ln(6·x).

Найдем критические точки функции:

$displaystyle y'=(ln(6*x)-6*x+18)'=(ln(6*x))'-(6*x)'+(18)'=frac{6}{6*x}-6+0=frac{1}{x}-6$

$displaystyle y'=0$ ⇔ $displaystyle frac{1}{x}-6=0$ ⇔ x₀=1/6=2/12∈[1/12; 5/12].

Вычислим значения функции в точке x₀=1/6 и на границах отрезка [1/12; 5/12]:

y(1/12)= ln(6·1/12)-6·1/12+18=ln(1/2)-1/2+18=17,5+ln(1/2)=17,5-ln2

y(1/6)= ln(6·1/6)-6·1/6+18=ln(1)-1+18=0+17=17

y(5/12)= ln(6·5/12)-6·5/12+18=ln(5/2)-5/2+18=15,5+ln(5/2)

Сравним значения:

$displaystyle y(frac{1}{12} )-y(frac{1}{6})=17,5-ln2-17=0,5-ln2=\\=0,5*lne-ln2=lnsqrt{e} -ln2=lnfrac{sqrt{e}}{2} =lnsqrt{frac{e}{4}}<ln1=0$

$displaystyle y(frac{5}{12} )-y(frac{1}{6})=15,5-ln(5/2)-17=\\=-1,5-ln2,5<-1,5-ln1<-1,5-0<0$

Отсюда, так как

y(1/6)>y(1/12) и y(1/6)>y(5/12)

то на промежутке [1/12 ; 5/12] наибольшее значение функции y(1/6)=17.