Question

Это по матанализ , я не знаю как решить.
y'=x+y , y(0)=3 ;

Answer 1

Тип: линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'-y=0$

Это дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными

$y'=y\\ displaystyle int frac{dy}{y} =int dx~~~~Rightarrow~~~ ln|y|=x+C~~~Rightarrow~~~~ y=Ce^x$

Примем $C=C(x)$ и найдем решение $y=C(x)e^x$
$y'=C'(x)e^x+C(x)e^x$

Подставляем все эти данные в исходное уравнение

$C'(x)e^x+C(x)e^x-C(x)e^x=x\ \ C'(x)e^x=x\ \ C'(x)=xe^{-x}\ \ C(x)=displaystyle int xe^{-x}dx= left{begin{array}{ccc}u=x;~ du=dx\ dv=e^{-x}dx,~v=-e^{-x}end{array}right}=-xe^{-x}+int e^{-x}dx=\ \ =-xe^{-x}-e^{-x}+C$


Общее решение: $y=e^x(-xe^{-x}-e^{-x}+C)=Ce^x-x-1$

Осталось найти частное решение, подставив начальное условие

$3=C-1\ C=4$

Частное решение: $y=4e^x-x-1$