Question

Найти площадь фигуры

Answer 1

y=-x²+4x    S-?
Найдём уравнения касательных:
-x²+4x=0
x²-4x=0
x*(x-4)=0
x₁=0      x₂=4    ⇒
yk=y(x₀)+y`(x₀)*(x-x₀)
x₀=0
y(0)=-x²+4x=-0²+4*0=0
y`(0)=-2x+4=-2*0+4=4  
yk=0+4*(x-0)=4x.
x₀=4
y(4)=-4²+4*4=-16+16=0
y`(4)=-2*4+4=-8+4=-4
yk=-4*(x-4)=16-4x.
S=₀∫²(4x-(-x²+4x))dx+₂∫⁴(16-4x-(-x²+4x)dx=₀∫²(4x+x²-4x)dx+₂∫⁴(16-4x+x²-4x)dx=
=₀∫²(x²)dx+₂∫⁴(x²-8x+16)dx=x³/3 ₀|²+(x³/3-4x²+16x) ₂|⁴=
=8/3+64/3-64+64-8/3+16-32=64/3-16=21¹/₃-16=5¹/₃.
Ответ: S=5,333 кв. ед.