Question

решить уравнение , допускающие понижение порядка 2 $y^{3}$·y''=-1 y(0)=0.5 y'(0)=√2

Answer 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от неизвестной х

Пусть $y'=p(y)$, тогда $y''=p'p(y)$, тогда

$y^3pp'=-1$ - уравнение с разделяющимися переменными

$dfrac{y^3pdp}{dy} =-1~~~Rightarrow~~~ displaystyle int pdp=-int frac{dy}{y^3} \ \ frac{p^2}{2}= frac{1}{2y^2} +C_1~~~Rightarrow~~~ p^2= frac{1}{y^2} +C_1$

Откуда $p=pmsqrt{ dfrac{1}{y^2} +C_1}$


Возвращаемся к обратной замене


$y'=displaystyle sqrt{ dfrac{1}{y^2} +C_1}~~~Rightarrow~~~ intfrac{dy}{sqrt{ dfrac{1}{y^2} +C_1}} =int dx\ \ \ frac{1}{2C_1} int frac{d(1+C_1y^2)}{sqrt{1+C_1y^2}} =int dx~~~Rightarrow~~~ boxed{ frac{ sqrt{1+C_1y^2} }{C_1} +C_2=x}$
Получили общий интеграл

Найдем теперь частный интеграл, подставляя начальные условия.

$displaystyle left { {{ frac{ sqrt{1+0cdot C_1} }{C_1}=0.5 } atop {------//-----}} right.$

Дальше нужно C1 и C2 и записать общий вид частного интеграла